Los filósofos no se ponen de acuerdo si los objetos matemáticos existen o son puras ficciones.
Por Kelsey Houston-Edwards. Primero de setiembre de 2019.
RESUMEN:
Los matemáticos tienen dos opiniones simultáneas e incompatibles de los objetos que ellos estudian.
Los números primos, por ejemplo, tienen relaciones sorprendentes entre unos y otros que los matemáticos están aún descubriendo.
Tales exploraciones, de lo que parece existir en horizontes desconocidos, alientan las ideas de que los objetos matemáticos existen independientemente de los hombres.
Si los objetos matemáticos fueran reales, sin embargo, ¿por qué no los podemos tocar, ver o de cualquier otra manera interactuar con ellos? Tales preguntas encaminan a menudo a los matemáticos a que, en efecto, el mundo de los objetos matemáticos es ficticio.
Cuando le digo a alguien que soy un matemático, una de las reacciones más comunes, y curiosas, es: “A mí las clases de matemáticas me gustaron siempre porque las cosas eran correctas o erróneas. No existía ambigüedad o duda”. Yo tartamudeo siempre al responderles. Las matemáticas no gozan de reputación alguna por ser el curso favorito de las personas, por eso titubeo cuando trato de atenuar el entusiasmo de ellos. Pero las matemáticas están llenas de incertidumbres, lo que sucede es que las esconde muy bien.
Por supuesto, yo entiendo el asunto. Si tu profesor te preguntara si 7 es un número primo, la respuesta definitivamente es “sí”. Un número primo por definición es un número entero, mayor que 1, que es divisible únicamente por sí mismo y por 1, tales como 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Cualquier profesor de matemática, en cualquier lugar del mundo, en cualquier tiempo pasado, en varios miles de años, dirá que es correcto afirmar que 7 es primo y que es incorrecto decir que 7 no es primo. Muy pocas otras disciplinas pueden alcanzar tal grado de consenso. Pero si tú le preguntas a 100 matemáticos que te expliquen la verdad de una afirmación matemática, tendrás 100 diferentes respuestas. ¿El número 7 podrá realmente existir como un objeto abstracto, con la característica de ser primo? ¿O, podría ser parte de un juego elaborado que los matemáticos han ideado? En otras palabras, los matemáticos concuerdan, en un grado remarcable, si la afirmación es verdadera o falsa, pero ellos no pueden estar de acuerdo acerca de lo que es exactamente esa afirmación.
Un aspecto de las matemáticas es la siguiente pregunta filosófica: “¿Las matemáticas fueron descubiertas por los humanos, o nosotros las inventamos? Tal vez 7 es un objeto real, que existe independientemente de nosotros, y que los matemáticos están descubriendo hechos acerca de él. O podría ser el producto de nuestra imaginación cuya definición y propiedades son flexibles.
El acto de hacer matemáticas realmente estimula hacía una clase de perspectiva filosófica dual, donde la matemática es tratada tanto como inventada como descubierta.
Todo esto me parece un poco un “improv theater”. Los matemáticos inventan un estado (o cosa) con un grupo de caracteres, u objetos, así como algunas pocas reglas de interacción y esperan cómo se desarrolla el plan. Los actores adquieren rápidamente personalidades y relaciones sorpresivas, enteramente independientes de lo que los matemáticos planearon. Independientemente de quien dirige el juego, sin embargo, el desenlace siempre es lo mismo. Aunque en un sistema caótico, donde lo finales pueden variar ampliamente, las mismas condiciones iniciales conducirán siempre al mismo resultado. Es esta inevitabilidad la que da a la disciplina de la matemática una cohesión tan notable.
Escondidas en las alas hay preguntas difíciles acerca de la naturaleza fundamental de los objetos matemáticos y en el aprendizaje del conocimiento matemático.
INVENCION
¿Cómo podemos saber si una afirmación matemática es correcta o no? En contraste de los científicos, quienes tratan usualmente de inferir los principios fundamentales de la naturaleza basados en observaciones, los matemáticos comienzan con una colección de objetos y reglas y luego demuestran rigurosamente sus consecuencias. El resultado de este proceso deductivo se llama una prueba, la cual edifica a menudo, desde hechos simples, otros más complejos. A primera vista las pruebas parecen ser la clave para el increíble consenso entre los matemáticos.
Pero las pruebas confieren solo una verdad condicional con la verdad de la conclusión dependiendo de la verdad de las asunciones. Este es el problema con la idea común de que el consenso entre los matemáticos resulta de la estructura de argumentos basada en la prueba. Las pruebas tienen asunciones básicas de las cuales depende todo lo demás – y muchas de las preguntas filosóficamente embarazosas acerca de la verdad y realidad matemática son realmente acerca de este punto inicial. El cual propone la pregunta: ¿De dónde vienen esos objetos e ideas fundamentales?
El imperativo es, a menudo, de utilidad. Necesitamos números, por ejemplo, de tal manera que podamos contar (digamos cabezas de ganado) y objetos geométricos tales como rectángulos que ser medidos, por ejemplo, las áreas de los campos. Algunas veces la razón es estética – ¿cuán interesante o atractiva es la historia resultante?
Alterando las asunciones iniciales algunas veces se puede destrabar estructuras y teorías de mayor alcance, tanto como excluyendo otras.
Por ejemplo, podríamos inventar un nuevo sistema de aritmética donde, como mandato, el producto de dos números negativos es negativo (dificultando la frustrada explicación del profesor de matemáticas), pero entonces muchas de las otras propiedades intuitivas y deseables de la cadena de los números desaparecerían. Los matemáticos evalúan los objetos básicos (tales como los números negativos) y sus propiedades (tales como los resultados multiplicándolos entre ellos) dentro del contexto de un panorama matemático mayor y consistente. Antes de probar un nuevo teorema, entonces, el matemático necesita mirar el desarrollo del juego. Solamente entonces el teórico puede saber qué probar: la inevitable, invariable conclusión. Esto da tres estados al proceso de hacer matemáticas: invención, descubrimiento y prueba.
Los caracteres en juego son casi siempre construidos a partir de objetos simples. Por ejemplo, una circunferencia es definida como los puntos equidistantes de un punto central. O sea, su definición se basa en la definición de punto, el cual es el tipo de objeto más simple, y la distancia entre dos puntos, el cual es la propiedad de esos objetos más simples. Similarmente multiplicación es adición repetida y exponenciación es multiplicación repetida de un número por sí mismo. Consecuentemente las propiedades de la exponenciación son inherentes a las propiedades de la multiplicación. Inversamente, podemos aprender acerca de complicados objetos matemáticos estudiando los objetos más simples en cuyos términos aquellos están definidos.
A fines del Siglo XX un grupo de matemáticos y filósofos comenzaron a preguntarse qué es lo que sostiene a esta pesada pirámide de las matemáticas. Ellos estaban grandemente preocupados de que las matemáticas no tenían fundamento alguno – que nada cimentaba la verdad de hechos como 1 + 1 = 2. (Un juego obsesivo de caracteres, varios de ellos al borde de enfermedad mental). Después de 50 años de alboroto y confusión el proyecto expansivo falló de producir una única respuesta que unifique y que satisfaga todas las metas originales, pero produjo varias ramas nuevas de matemáticas y filosofía.
Algunos matemáticos tuvieron la esperanza de resolver la crisis fundacional produciendo una colección relativamente simple de axiomas de las cuales todas las verdades matemáticas podrían se derivadas.
Los trabajos del matemático Kurt Godel, en los 1930s, son sin embargo interpretados como la demostración de que tal reducción a axiomas es imposible.
Al principio, Godel mostró que cualquier candidato razonable de sistema de axiomas sería incompleto: Existen afirmaciones matemáticas que dicen que el sistema puede probar como no probar. Pero la explosión más devastadora vino con el segundo teorema de Godel acerca de lo incompleto que las matemáticas son. Cualquier sistema de axiomas fundacional debería de ser consistente, queriendo decir, libre de afirmaciones que pueden ser, al mismo tiempo, probatorias o no probatorias. (Las matemáticas podrían ser mucho menos satisfactorias si pudiésemos probar que 7 es primo y 7 no es primo).
Además, el sistema debería de ser capaz de probar – para garantizar matemáticamente – su propia consistencia. El segundo teorema de Godel establece que esto es imposible.
La cuestión de encontrar los fundamentos de las matemáticas condujo al increíble descubrimiento de un sistema de axiomas, conocido como el conjunto de teorías de Zermelo - Fraenkel, de la cuales se puede derivar la mayor parte de las más interesantes y relevantes matemáticas.
A lo largo del Siglo XX los matemáticos debatieron si el conjunto de teorías de Zermelo - Fraenkel podrían ser ensanchadas (aumentadas) adicionándole una regla, conocida como el axioma escogido: Si tú tienes un conjunto infinitamente grande de objetos, entonces tú puedes formar un nuevo conjunto escogiendo un objeto de cada uno de los conjuntos existentes. Piensa en una fila de canastas, cada una conteniendo una colección de bolas, además de una canasta vacía. De cada canasta de la fila, tú escoges una bola y la colocas en la canasta vacía. El axioma escogido te permitiría hacer esto con una infinita fila de canastas. No solo que tiene un atractivo intuitivo, es necesario probar varias, y útiles, afirmaciones matemáticas deseables.
Pero también implica algunas cosas extrañas, como la paradoja de Banach-Tarsk, el cual supone que tú puedes romper una bola sólida en cinco partes y reensamblarlas en dos nuevas bolas sólidas, cada una del mismo tamaño que del primero. En otras palabras, tú puedes duplicar el número de bolas. Las asunciones fundamentales son evaluadas (juzgadas) por la estructura que ellos producen, y el axioma escogido implica muchas afirmaciones importantes, pero también traen otros bagajes. Sin el axioma escogido, la matemática parece carecer de hechos cruciales, aunque con él, la matemática incluye hechos (afirmaciones) extraños y potencialmente indeseables.
La mayor parte de las matemáticas modernas usa un conjunto estándar de definiciones y convenciones que se han formado a través del tiempo. Por ejemplo, los matemáticos solían considerar al 1 como un número primo, pero no más. Ellos argumentan aun, sin embargo, si el 0 debiese ser considerado como un número natural (algunas veces llamados los números continuos). Los números naturales son definidos como 0, 1, 2, 3, 4… ó 1, 2, 3 ,4…dependiendo a quien tú le preguntes. Cuyos caracteres, o invenciones, vienen a ser parte del canon matemático, que usualmente depende de cuan intrigante es el resultado del juego – observando que tal juego puede tomar años.
En este sentido el conocimiento matemático es acumulativo. Las viejas teorías pueden ser rechazadas, aunque ellas son raramente invalidadas, ya que ellas están a menudo en las ciencias naturales. En lugar de ello lo matemáticos simplemente escogen volcar su atención a un nuevo conjunto de asunciones y explorar la teoría que desentraña.
DESCUBRIMIENTO
Como se ha notado anteriormente, los matemáticos definen a menudo objetos y axiomas con una particular aplicación en mente. Una y otra vez, sin embargo, esos objetos les sorprenden durante el segundo paso del proceso matemático: Descubrimiento.
Los números no primos, por ejemplo, son bloques construidos por multiplicación de las más pequeñas unidades multiplicadoras. Un número es primo si no puede ser escrito como el producto de dos números más pequeños, y todos los números no primos (compuestos) pueden ser construidos multiplicando, entre ellos mismos, un conjunto único de primos.
El matemático Christian Göldbach, en 1742, formuló la hipótesis de que cada número par, mayor que 2, es la suma de dos primos.
Si tú coges cualquier número par, el así llamado conjetura de Göldbach, predice que hallarás dos números primos que sumados dan el número par en cuestión. Si tomas 8 los primos son 3 y 5, para 42 son 13 y 29, etc. La conjetura de Göldbach es sorprendente porque, aunque los primos fueron diseñados para ser multiplicados entre ellos, sugiere asombrosamente relaciones accidentales entre números pares y las sumas de primos.
Una abundante evidencia apoya la conjetura de Göldbach. Desde los 300 años transcurridos desde su aparición original, los cómputos han confirmado que es cierto para todos los números pares menores que 4 x 10^18. Pero esta evidencia no es suficiente para que los matemáticos declaren que tal conjetura es (totalmente) correcta. No importando cuan grande sea el número par computado, podría existir un “contra – ejemplo” un número par que no sea la suma de dos primos, merodeando en alguna esquina olvidada.
Imagínate que la computadora está imprimiendo los resultados cada vez que encuentra que dos primos que sumados dan un número par. La computadora imprime ese número par. Hasta ahora hay una lista muy grande de números, la cual puedes ofrecerle a un amigo tuyo como una razón decisiva para creer que la conjetura de Göldbach es cierta. Pero tu experto amigo siempre es capaz de pensar en un número par que no esté en la lista y preguntarte cómo puedes saber que la conjetura de Göldbach es verdadera para ese número en particular. Es imposible para todos (infinitamente muchos) números pares que se muestran en la lista.
Solamente una prueba matemática – un argumento lógico apoyado en principios básicos, demostrando que la conjetura de Göldbach es verdadera para cualquier número par - podrá elevar tal conjetura a la calidad de teorema o hecho. Hasta la fecha nadie ha sido capaz de proporcionar tal prueba.
La conjetura de Göldbach ilustra la diferencia crucial entre el estado de descubrimiento de las matemáticas y el estado de prueba. Durante la fase de descubrimiento uno busca la avasalladora evidencia de un hecho matemático – y en la ciencia empírica, eso es el fin buscado. Pero matemáticamente se requiere de hechos que los prueben.
Modelos y evidencias ayudan a los matemáticos a ordenar, a través de hallazgos matemáticos, y decidir qué probar, pero ellos pueden ser también engañosos. Por ejemplo, construyamos la secuencia de números como: 121, 1211, 12111, 121111, 1211111 y así sucesivamente. Hagamos una conjetura: todos los números en la secuencia no son primos, Es fácil reunir evidencia para esta conjetura. Tú puedes ver que 121 no es primo, porque 121 = 11 x 11, similarmente 1211, 12111, 121111 son no primos. El modelo se mantiene durante un momento, suficientemente largo que tú podrías aburrirte de seguir chequeando, pero, entonces, ¡¡¡súbitamente falla!!! El elemento 136° de la secuencia (esto es, el número 121….111, donde 136 “1”s siguen al “2”,¡¡¡ es primo!!!
Es tentador pensar que las modernas computadoras pueden ayudar con estos problemas, permitiendo verificar la conjetura con más números en la secuencia. Pero hay ejemplos de modelos matemáticos que encuentran como verdaderos para los primeros 1042 elementos de una secuencia y luego fallan. Aun con toda la capacidad computacional que hay actualmente en el mundo, tú nunca serás capaz de verificar tal cantidad de números.
Aun así, el estado de descubrimiento del proceso matemático es extremadamente importante. Revela conexiones impensadamente escondidas tal como la conjetura de Göldbach.
A menudo dos ramas completamente diferentes de la matemática son estudiadas intensamente, de modo aislado, antes de descubrir una profunda relación ente ellas. Un ejemplo relativamente simple es la identidad de Euler:
la que conecta la constante geométrica π con el número imaginario i, definido algebraicamente como la raíz cuadrada de -1, vía el número e, que es la base de los logaritmos neperianos.
Estos descubrimientos sorprendentes son parte de la belleza y curiosidad de la matemática. Ellos parecen apuntar hacía una profunda estructura subyacente que los matemáticos están comenzando a entender
En este sentido, las matemáticas parecen dos cosas: inventada y descubierta. Los objetos de estudio están precisamente definidos, pero ellos adquieren vida propia, revelando inesperadas complejidades, El proceso de las matemáticas, por consiguiente, parece que requiere que tales objetos matemáticos sean vistos simultáneamente como reales (ya existentes) y como inventados: como objetos con propiedades concretas descubribles y como fácilmente manipulables inventos de la mente. Como la filósofa Penélope Mddy escribe, sin embargo, la dualidad no hace diferencia alguna para como los matemáticos trabajan: “Siempre que el concepto de la dualidad sea aceptable”
¿REAL O NO REAL?
El realismo matemático es la postura filosófica que parece surgir durante la etapa del descubrimiento: Los objetos del estudio matemático – desde los círculos y los números primos hasta los matrices y cosas más complejas – son reales y existen independientemente de las mentes humanas. Tal como un astrónomo descubre un lejano planeta o un paleontólogo estudia los dinosaurios, los matemáticos están inmersos dentro de entes reales. Probar que la conjetura de Göldbach es real, por ejemplo, es mostrar que los números pares y los números primos están relacionados de una manera peculiar a través de la suma, justo como un paleontólogo podría mostrar que un cierto tipo de dinosaurio desciende de otro porque sus estructuras anatómicas están relacionadas.
El realismo, en sus diversas manifestaciones, tal como el platonismo (inspirado por la teoría del filósofo griego, de “formas platónicas”) facilita el concepto de la universalidad y utilidad de las matemáticas. Un objeto matemático tiene la propiedad, tal como que 7 es primo, tal como que el dinosaurio podría haber tenido la propiedad de ser capaz de volar. Y un teorema matemático, tal que como la suma de dos números pares es par, es real porque los números pares realmente existen y mantienen una relación particular entre ellos. Esto explica el por qué la gente de diversas épocas, culturas y lugares geográficos generalmente están de acuerdo acerca de los hechos matemáticos. Todos ellos tienen como referencias los mismos objetos fijos.
Pero hay algunas objeciones importantes acerca del realismo. Si los objetos matemáticos realmente existen, sus propiedades son ciertamente muy peculiares. Para algunos, ellos son casualmente inertes, lo que significa de que ellos no pueden ser causa de nada, de modo que tú no puedes literalmente interactuar con ellos. Esto es un problema porque nosotros logramos conocer a un objeto a través de su impacto. El paleontólogo puede ver y tocar los restos óseos de los dinosaurios, y un planeta puede pasar en frente de una estrella, bloqueando su luz a nuestra vista. Pero un círculo es un objeto abstracto, independiente del espacio y del tiempo. El hecho que “pi” es el ratio (la relación) de la circunferencia ante el diámetro del círculo no es como pensar en una lata de soda o en un pastel; se refiere a un círculo matemático abstracto, donde las distancias son exactas y los puntos en la circunferencia son infinitamente pequeños. Tal circunferencia perfecta es casualmente inerte y por lo mismo inaccesible. Entonces ¿cómo podemos entender hechos acerca de él sin recurrir a algún tipo de sexto sentido?
Esa es la dificultad con el realismo. No puede explicar cómo podemos conocer hechos acerca de objetos matemáticos abstractos. Todo ello podría causar que los matemáticos reculen de sus típicas posturas realistas y aterricen en su primer escalón del proceso matemático: invención. Encuadrando las matemáticas dentro de puros ejercicios mentales, formales, matemáticos o en una completa ficción, el antirrealismo cae fácilmente dentro de problemas epistemológicos (estudios críticos del desarrollo, métodos y resultados de las ciencias).
El formalismo, un tipo de antirrealismo, es una postura filosófica que asevera que las matemáticas son como un juego y los matemáticos están justamente armando las reglas del juego. Establecer que 7 es un número primo es como establecer que el caballo es la única pieza del ajedrez que puede moverse en L. Otra postura filosófica, el ficticionismo, declara que los objetos matemáticos son ficciones. Establecer que 7 es un número primo es entonces como establecer que los unicornios son blancos. Las matemáticas tienen sentido dentro de su universo ficticio, pero no tienen ningún significado real fuera de él.
Existe un inevitable balance de opiniones. Si la matemática simplemente es fabricada, ¿cómo puede ser una parte tan necesaria para la ciencia? Desde la mecánica cuántica hasta los modelos de ecología, la matemática es una herramienta científica deseable y precisa. Los científicos no esperan que las partículas se muevan de acuerdo a las reglas del ajedrez o que los pedazos de un plato roto, al caer, copien automáticamente el sendero de Hans and Gretel. La esencia de la descripción matemática descansa exclusivamente sobre las matemáticas, lo cual la distingue de otros juegos o ficciones.
Al final estas cuestiones no afectan la práctica de las matemáticas. Los matemáticos son libres para escoger sus propias interpretaciones de su profesión.
En “La Experiencia Matemática”, Philip Davis y Rubén Hersh escriben la famosa frase: “El típico trabajo de los matemáticos es platonismo los días de trabajo de la semana y uno formalista los domingos”
Englobando todos los desacuerdos en proceso preciso - el cual abarca tanto invención como descubrimiento - las matemáticas son increíblemente efectivas al producir consensos disciplinarios.
AUTOR: Kelsey Houston-Edwards, profesora de matemáticas en el Olin College of Engineering.
Publicado originalmente con el título ”Juego de Números” en la revisa Scientific American, en su edición de setiembre del 2019.
Permiso de publicación: randp@sciam.com (Nonprofit academic use)
Traducido al español por Gilberto Reyes Moreno
Enero del 2020.
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